¡¡ Bienvenidos al curso de Topología I !!  La mayor parte del semestre la dedicaremos a estudiar elementos de topología general de acuerdo con el programa oficial del curso. Si el tiempo lo permite, daremos una pequeña introducción a:

• Variedades diferenciables.

• El grupo fundamental de un espacio topológico.

Los prerrequisitos para el curso son: Nociones sobre teoría de grupos (Algebra Moderna I)  y  Topología de espacios métricos (Análisis I). Después de pensarlo bien, he decidido que no habrá un texto único para el curso. Los temas y las listas de problemas serán tomados principalmente de los siguientes libros:    Topologie  de tom Dieck,   Topology and Geometry  de Bredon,   Vector Analysis   de Janich    y   Topology  de Munkres.

Dos libros cuya lectura se recomienda ampliamente (y debiera ser obligatoria) son:
 

• Topology  de K. Janich

• Topology, a first course, de J.R. Munkres

La calificación de cada parcial estará  integrada como sigue:

        Examen escrito:                           60%
        Tareas y examen oral:                 30%
        Exposiciones en clase:                10%
 
 

Importante:  Una condición necesaria para tener derecho a examen, será
haber entregado al menos el  60% de las tareas correspondientes al parcial.
 
 

Horario:      Lunes, Miercoles y Viernes        12:30 -- 14:00        Salon 107
 

        Botella de Klein con vino, huevo y cebolla
 
 
 
 
 

TAREAS:

lista1.pdf            lista2.pdf            lista3.pdf           

lista4.pdf             lista5.pdf

        BIBLIOGRAFIA:
 

• M. A. Armstrong,   Basic Topology. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.

• G. E. Bredon,    Topology and Geometry.    Graduate texts in Mathematics No. 139, Springer-Verlag.

• J. Dugundji,   Topology. Allyn and Bacon, Inc.

• K. Janich,   Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag.

• K. Janich,   Vector Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag.

• C. Kosniowski,   Topología Algebraica.    Reverté.

• J. R. Munkres,   Topology, a first course.    Prentice-Hall.

• J. R. Munkres,   Topology. 2nd Edition.    Prentice-Hall, 1999.  (Ahora disponible en español)

• T. tom Dieck,    Topologie.     Walter de Gruyter

     LIBROS  EN  TOPOLOGIA  ALGEBRAICA:
 

• M. Aguilar, S. Gitler, C. Prieto,    Topología Algebraica: Un enfoque homotópico.  Mc Graw-Hill.

• M. J. Greenberg,  J. R. Harper,  Algebraic Topology.    Addison - Wesley.

• A. Hatcher,  Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2000.

        Mayores  informes  ó  dudas:    xico@esfm.ipn.mx
 
 
 
 

Breve introducción histórica    (en inglés)
 
 
 

Algunas biografías:

           Leonhard Euler          Felix Hausdorff         J. Henri Poincaré        Jean-Pierre Serre
 
 
 
 

¿Qué es la Topología Algebraica?

El método de la topología algebraica consiste en: (1) asociar a todo espacio topológico X , un objeto algebraico H(X) , por ejemplo un grupo o un anillo,  de tal modo que la estructura algebraica de  H(X)  refleje las propiedades geométricas de  X   y  (2) asociar a toda función continua  f : X --> Y , una función que preserve estructura f_* : H(X)  --> H(Y)  (un homomorfismo de grupos, de anillos, etc.). Esto permite transformar un problema geométrico en un problema algebraico, posiblemente mas sencillo de resolver. Ejemplos de este tipo de problemas son: el teorema fundamental del álgebra, el teorema de punto fijo de Brower y la existencia de campos vectoriales en la esfera Sⁿ .

Aunque la topología algebraica puede ser considerada, por mucho, como una creación del siglo 20, posee una larga pre historia. Generalmente se considera que tiene sus raíces en el teorema del poliedro de Euler (1752); ésta es la relación   V - A + C = 2    para un poliedro homeomorfo a la esfera  S ², donde V  es el número de vértices,  A  el número de aristas y  C  el número de caras de dicho poliedro.

La topología algebraica evolucionó lentamente durante en el transcurso del siglo 19. El primer avance se logró con el trabajo de Riemann sobre la teoría de funciones de variable compleja, el cual resultó ser una gran influencia para desarrollos posteriores. Pero el parteaguas que comenzó la nueva era, fue sin duda un artículo de Poincaré  (Analysis Situs, 1896)  y varios complementos a éste. En este trabajo, Poincaré introdujo los grupos de homología y conocía  ya el grupo fundamental (también llamado el primer grupo de homotopía). En particular, Poincaré definió ciertos invariantes topológicos conocidos ahora como los números de Betti  B_p   (p = 0, 1, 2, . . . ),  para para variedades diferenciables y estableció para ellas su famoso teorema de dualidad:   B_p = B _{n - p} , válido para variedades compactas orientables de dimensión n.

Durante la primera mitad del siglo 20, muchos matemáticos definieron homología para clases de espacios topológicos mas y mas extensas. Asi por ejemplo, en 1945, Eilenberg y Steenrod desarrollaron un enfoque axiomático de la teoría de homología. Lo sorprendente fue que en la clase de todos los espacios topológicos, los axiomas de Eilenberg y Steenrod caracterizan de manera única a los grupos de  homología singular. Al mismo tiempo, un desarrollo paralelo tenía lugar en la teoría de homotopía.  Asi fue como los grupos de homotopía superiores fueron definidos por Hurewicz en 1935 y sus propiedades comenzaron a ser investigadas.

En los años 1950's la topología algebraica tomó un nuevo impulso gracias a las aportaciones de la escuela francesa (H. Cartan, Leray, J.P. Serre) y el trabajo seminal de J.F. Adams. Además, nuevos conceptos fueron introducidos tales como el cobordismo y la K-teoría; aqui vale la pena mencionar nombres como: R. Thom y M. Atiyah entre otros. En la actualidad, uno de los problemas mas importantes y que aun continúa abierto, es el cálculo de los grupos de homotopía de la n-esfera Sⁿ  .
 
 

Ver también:        The Mathematical Atlas